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世界でもっとも美しい１０の物理方程式


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New ! 微分方程式の数値的解法

一次関数・高次関数・正弦関数・ 余弦関数・正接関数・余割関数・ 正割関数・余接関数・シンク関数・ 指数関数・対数関数・

逆正弦関数・ 逆余弦関数・逆正接関数・双曲線正弦関数・ 双曲線余弦関数・双曲線正接関数・逆余割関数・ 逆正割関数・

逆余接関数・逆双曲線正弦関数・ 逆双曲線余弦関数・逆双曲線正接関数・ガンマ関数・ ベータ関数・第一種ベッセル関数


※ Microsoft Excel 2010 で編集しています

※ グラフの色・最大値・軸などの変更の方法は、他のサイト・書籍を参照してください。

※ サンプリング周波数に比べて関数の周波数が高過ぎると、グラフが歪んだり形が崩れたりします。

サンプリング定理によれば、サンプリング点から元の関数を得るためには関数の最高周波数の２倍以上のサンプリング周波数が

必要ですが、グラフを描くにはこれでは不十分で、最低でも２０倍程度にしてみてください。

y=sin(x)ならば、周期2π・周波数1/2πですから、周波数10/π・周期π/10=0.3以下の間隔でサンプリングするということです。

・微分方程式の数値的解法：[Excelファイル]

画像表示エラー


微分方程式を解析的に解けるのは、ごく限られた場合だけです。そこで、解の近似値を求める方法が考えられています。

上の図を見てください。オイラー法を除けば、ほとんど厳密解と一致していることがわかると思います。

ここではそれらの方法について説明します。

初期値が与えられている１階微分方程式

y'=f(x,y)

を考えます。ここでは

y'=x+y

という、（初期値を y=0（ x=0 ）として）厳密解が

y=e^x-x-1

と求められる一階線形微分方程式を取り扱いますが、非線形である場合でも適用可能です。

導出は省略しますが、n 番目の x , y を用いて、x のステップ幅 h 後の n+1 番目の y を求める方法を以下に４つ挙げます。

上の例では h=0.2 です。精度は順に上がっていきます。

１：オイラー法

y[n+1]=y[n]+hf(x[n],y[n])

２：改良オイラー法

k1=hf(x[n],y[n]),k2=hf(x[n+1],y[n]+k1)

として、

y[n+1]=y[n]+(k1+k2)/2

３：ルンゲクッタ（RK）法

k1=hf(x[n],y[n]),k2=hf(x[n]+h/2,y[n]+k1/2),k3=hf(x[n]+h/2,y[n]+k2/2),k4=hf(x[n]+h,y[n]+k3)

として、

y[n+1]=y[n]+(k1+2k2+2k3+k4)/6

４：ルンゲクッタフェルベルグ（RKF）法

k1=hf(x[n],y[n]),k2=hf(x[n]+h/4,y[n]+k1/4),k3=hf(x[n]+3h/8,y[n]+3k1/32+9k2/32),k4=hf(x[n]+12h/13,y[n]+1932k1/2197-7200k2/2197+7296k3/2197),k5=hf(x[n]+h,y[n]+439k1/216-8k2+3680k3/513-845k4/4104),k6=hf(x[n]+h/2,y[n]-8k1/27+2k2-3544k3/2526+1859k4/4104-11k5/40)

として、

y[n+1]=y[n]+16k1/135+0k2+6656k3/12825+28561k4/56430-9k5/50+2k6/55


・一次関数：[Excelファイル]

パラメータ：a,b

y=ax+b

画像表示エラー


・高次関数：[Excelファイル]

パラメータ：a5,a4,a3,a2,a1,a0

y=a5x^5+a4x^4+a3x^3+a2x^2+a1x+a0

画像表示エラー


・正弦関数（サイン）：[Excelファイル]

パラメータ：A,k,θ

y=Asin(kx+θ)

画像表示エラー


・余弦関数（コサイン）：[Excelファイル]

パラメータ：A,k,θ

y=Acos(kx+θ)

画像表示エラー


・正接関数（タンジェント）：[Excelファイル]

パラメータ：A

y=Atan(kx+θ)

画像表示エラー


・余割関数（コセカント）：[Excelファイル]

パラメータ：A

y=Acosec(kx+θ)=A/sin(kx+θ)

画像表示エラー


・正割関数（セカント）：[Excelファイル]

パラメータ：A

y=Asec(kx+θ)=A/cos(kx+θ)

画像表示エラー


・余接関数（コタンジェント）：[Excelファイル]

パラメータ：A

y=Acot(kx)=A/tan(kx)

画像表示エラー


・シンク関数：[Excelファイル]

パラメータ：A,k

注：x=0では不定になりますから、極限値 A を使用しています。

y=Asinc(kx)=Asin(kx)/kx

画像表示エラー


・指数関数：[Excelファイル]

パラメータ：A,k

y=Ae^(kx)

画像表示エラー


・対数関数：[Excelファイル]

パラメータ：A,k

注：x=0では-∞となりますから、-3としています。

y=Alog(kx)

画像表示エラー


・逆正弦関数（アークサイン）：[Excelファイル]

パラメータ：A

注：表示しているのは主値です。

y=Aasinx=Asin^(-1)x

画像表示エラー


・逆余弦関数（アークコサイン）：[Excelファイル]

パラメータ：A

注：表示しているのは主値です。

y=Aacosx=Acos^(-1)x

画像表示エラー


・逆正接関数（アークタンジェント）：[Excelファイル]

パラメータ：A

y=Aatanx=Atan^(-1)x

画像表示エラー


・双曲線正弦関数（ハイパボリックサイン）：[Excelファイル]

パラメータ：

y=sinhx=(e^x-e^(-x))/2

画像表示エラー


・双曲線余弦関数（ハイパボリックコサイン）：[Excelファイル]

パラメータ：

y=coshx=(e^x+e^(-x))/2

画像表示エラー


・双曲線正接関数（ハイパボリックタンジェント）：[Excelファイル]

パラメータ：

y=tanhx=sinhx/coshx

画像表示エラー


・逆余割関数（アークコセカント）：[Excelファイル]

パラメータ：

y=acosecx=cosec^(-1)x

画像表示エラー


・逆正割関数（アークセカント）：[Excelファイル]

パラメータ：

y=asecx=sec^(-1)x

画像表示エラー


・逆余接関数（アークコタンジェント）：[Excelファイル]

パラメータ：

注：x=0のときは適当な値にしています。 y=acotx=cot^(-1)x

画像表示エラー


・逆双曲線正弦関数（アークハイパボリックサイン）：[Excelファイル]

パラメータ：

。 y=asinhx=sinh^(-1)x

画像表示エラー


・逆双曲線余弦関数（アークハイパボリックコサイン）：[Excelファイル]

パラメータ：

y=acoshx=cosh^(-1)x

画像表示エラー


・逆双曲線正接関数（アークハイパボリックタンジェント）：[Excelファイル]

パラメータ：

注：x=+-1では適当な値にしています。

y=atanhx=tanh^(-1)x

画像表示エラー


・ガンマ関数：[Excelファイル]

パラメータ：

注：xが負の整数のときは、適当な値にしています。

y=Γ(x)=∫[0,∞]e^(-t)t^(x-1)dt

画像表示エラー


・ベータ関数：[Excelファイル]

パラメータ：

z=B(x,y)=∫[0,1]t^(x-1)(1-t)^(y-1)dt

画像表示エラー


・第一種ベッセル関数：[Excelファイル]

パラメータ：

y=Jν(x)=Σ[0,∞](-1)^k((x/2)^(ν+2k))/(k!Γ(ν+k+1))

画像表示エラー





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